2.3 Conceito de Modelo Funcional

Introdução

O modelo funcional é uma parte essencial no processo de ajustamento de observações. Ele descreve as relações matemáticas entre as grandezas observadas e os parâmetros desconhecidos que se deseja estimar.

Definição

O Modelo Funcional é a expressão matemática que relaciona diretamente as observações aos parâmetros desconhecidos de interesse. Ele estabelece como as variáveis observadas são teoricamente ligadas entre si, de acordo com as leis físicas, geométricas ou outras relações que regem o fenômeno em estudo.

Estrutura do Modelo Funcional

1. Equações de Observação:

   • Representam as observações diretas realizadas durante o levantamento.

   • Fórmula geral: $𝑙i​=fi​(X)+vi​$

     • $𝑙𝑖$: Observação

     • $𝑓𝑖(𝑋)$: Função que descreve a relação teórica entre as observações e os parâmetros $𝑋$

     • $𝑣𝑖$: Resíduo ou erro da observação $𝑖$

2. Equações de Condição:

   • São restrições que as observações devem satisfazer devido a leis ou condições impostas.

   • Fórmula geral: $𝑔𝑗(𝑋,𝑙)=0$

     • $𝑔𝑗$: Função de condição $𝑗$

     • $𝑋$: Parâmetros desconhecidos

     • $𝑙$: Observações

Exemplo de Aplicação

Considere um levantamento topográfico onde se medem distâncias e ângulos para determinar coordenadas de pontos no terreno:

• Equações de Observação:

  • Medida de distância:

  

  • Medida de ângulo: $𝜃𝑖𝑗𝑘=tan⁡−1(𝑌𝑗−𝑌𝑖𝑋𝑗−𝑋𝑖)−tan⁡−1(𝑌𝑘−𝑌𝑗𝑋𝑘−𝑋𝑗)+𝑣𝜃θijk​=tan−1(Xj​−Xi​Yj​−Yi​​)−tan−1(Xk​−Xj​Yk​−Yj​​)+vθ​$

  
• Equações de Condição:

  • Fechamento de poligonal (soma dos ângulos internos):

  
• Fechamento de nivelamento:

Importância do Modelo Funcional

• Precisão e Confiabilidade: O modelo funcional correto garante que os parâmetros estimados sejam precisos e confiáveis.

• Base para Ajustamento: Serve de base para a formulação do sistema de equações que será ajustado pelo método dos mínimos quadrados ou outros métodos.

• Análise de Sensibilidade: Permite a análise de como variações nas observações afetam os parâmetros estimados, ajudando a identificar observações críticas.

Conclusão

O modelo funcional é um componente central no ajustamento de observações, definindo as relações matemáticas entre as observações e os parâmetros desconhecidos. Um modelo funcional bem definido é essencial para obter resultados precisos e confiáveis em projetos de engenharia, geodésia e outras disciplinas que dependem de medições exatas.

Referências

• GEMAEL, Camil. "Livro de Ajustamento de Observações."

• TEUNISSEN, P. J. G. "Adjustment Theory: An Introduction."