2.4 Conceito de Modelo Estocastico

Introdução

Os modelos estocásticos são uma parte fundamental no ajustamento de observações, complementando os modelos funcionais ao considerar a natureza aleatória e os erros associados às observações. Enquanto o modelo funcional descreve a relação teórica entre as variáveis observadas e os parâmetros desconhecidos, o modelo estocástico lida com a incerteza inerente aos dados.

Definição

Um Modelo Estocástico descreve a distribuição de probabilidade dos erros das observações, fornecendo uma maneira de quantificar a incerteza e a variabilidade dos dados. Ele especifica como os erros das observações são distribuídos e correlacionados, o que é crucial para a aplicação correta dos métodos de ajustamento, como o método dos mínimos quadrados.

Componentes do Modelo Estocástico

1. Vetor de Erros (Resíduos):

   • Representa a diferença entre as observações e os valores ajustados.

   • Denotado por $𝑣$ ou $𝜖$.

2. Matriz de Covariância dos Erros ($Σ$):

• Descreve a variabilidade e a correlação entre os erros das diferentes observações.

• Diagonal principal contém as variâncias das observações.

• Elementos fora da diagonal representam as covariâncias entre os erros das observações.

Matriz de Pesos ($𝑃$):

• O inverso da matriz de covariância:

• Utilizada no método dos mínimos quadrados ponderados para dar diferentes importâncias às observações.

Função do Modelo Estocástico

O modelo estocástico cumpre várias funções importantes:

• Quantificação da Incerteza: Fornece uma medida da precisão das observações e das estimativas dos parâmetros ajustados.

• Pesagem das Observações: Permite atribuir pesos diferentes às observações com base na sua precisão relativa.

• Análise de Correlação: Considera a correlação entre os erros das diferentes observações, essencial para a precisão dos resultados ajustados.

Exemplo de Aplicação

Considere um levantamento topográfico onde são medidas várias distâncias com diferentes precisões:

• Observações:

• Erros:

A matriz de covariância dos erros ($Σ$) poderia ser:

A matriz de pesos ($𝑃$) seria o inverso da matriz de covariância:

Importância do Modelo Estocástico

• Precisão e Confiabilidade: Proporciona uma maneira rigorosa de avaliar a precisão das observações e das estimativas dos parâmetros ajustados.

• Ajuste Ponderado: Permite realizar ajustamentos ponderados, onde observações mais precisas têm maior influência nos resultados finais.

• Análise Completa dos Dados: Considera tanto a variabilidade individual das observações quanto a correlação entre elas, resultando em um ajustamento mais realista e preciso.

Conclusão

Os modelos estocásticos são essenciais para o ajustamento de observações, fornecendo uma base para quantificar e lidar com a incerteza nos dados. Eles complementam os modelos funcionais ao considerar a variabilidade e correlação dos erros, permitindo obter resultados ajustados mais precisos e confiáveis.

Referências

• GEMAEL, Camil. "Livro de Ajustamento de Observações."

• TEUNISSEN, P. J. G. "Adjustment Theory: An Introduction."