Exemplo: Aplicação do Método Correlato em uma Rede de Nivelamento

Descrição do Problema

Considere uma rede de nivelamento composta por quatro pontos (A), (B), (C) e (D) e quatro desníveis observados:

  1. hABh_{AB}: Desnível de (A) para (B),

  2. hBCh_{BC}: Desnível de (B) para (C),

  3. hCDh_{CD}: Desnível de (C) para (D),

  4. hDAh_{DA}: Desnível de (D) para (A).

A soma dos desníveis em um circuito fechado deve ser zero:

hAB+hBC+hCD+hDA=0h_{AB} + h_{BC} + h_{CD} + h_{DA} = 0

Devido a erros nas medições, esta condição pode não ser satisfeita, e as observações precisam ser ajustadas.

Dados Observados

Observação
Valor Observado ((m))
Precisão ((mm))

hABh_{AB}

(1.23)

(1.0)

hBCh_{BC}

(2.34)

(0.8)

hCDh_{CD}

(-1.56)

(0.6)

hDAh_{DA}

(-2.05)

(0.9)

Montagem do Sistema

1. Matriz de Condição B

A matriz representa a relação funcional entre as observações. Neste caso:

B=[1111]\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

2. Vetor de Observações Y

Os valores observados dos desníveis:

y=[1.232.34−1.56−2.05]\mathbf{y} = \begin{bmatrix} 1.23 \\ 2.34 \\ -1.56 \\ -2.05 \end{bmatrix}

3. Vetor de Condições b

O valor esperado para o fechamento do circuito:

b=0\mathbf{b} = 0

4. Matriz de Covariância $$\mathbf{Q}_e $$

Diagonal contendo as variâncias das observações:

Qe=diag(1.02,0.82,0.62,0.92)=[1.0000000.6400000.3600000.81]\mathbf{Q}_e = \text{diag}(1.0^2, 0.8^2, 0.6^2, 0.9^2) = \begin{bmatrix} 1.00 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.64 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.81 \end{bmatrix}

Ajuste pelo Método Correlato

O ajuste minimiza os resíduos ((\mathbf{e})) para satisfazer:

Minimizar:

eTQe−1e\mathbf{e}^T \mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{e}

Sujeito a:

B(y+e)=b\mathbf{B} (\mathbf{y} + \mathbf{e}) = \mathbf{b}

O sistema linear a ser resolvido é:

[Qe−1BTB0][eλ]=[−Qe−1yb−By]\begin{bmatrix} \mathbf{Q}_e^{-1} & \mathbf{B}^T \\ \mathbf{B} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e} \\ \boldsymbol{\lambda} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{y} \\ \mathbf{b} - \mathbf{B} \mathbf{y} \end{bmatrix}

Resultados Ajustados

Observação
Valor Ajustado ((m))
Correção ((e_i))

(h_{AB})

(1.22)

(-0.01)

(h_{BC})

(2.32)

(-0.02)

(h_{CD})

(-1.58)

(-0.02)

(h_{DA})

(-2.04)

(+0.01)

A soma dos desníveis ajustados é:

1.22+2.32−1.58−2.04=01.22 + 2.32 - 1.58 - 2.04 = 0

Conclusões

  • O Método Correlato ajustou os desníveis observados para satisfazer a condição de fechamento do circuito.

  • As correções eie_iforam pequenas, indicando que as observações eram confiáveis.

  • A matriz de covariância (Qe)(\mathbf{Q}_e) garantiu maior peso para observações mais precisas.

Este exemplo demonstra a eficiência do Método Correlato no ajuste e validação de redes de nivelamento.

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