Exemplo: Aplicação do Método Correlato em uma Rede de Nivelamento

Descrição do Problema

Considere uma rede de nivelamento composta por quatro pontos (A), (B), (C) e (D) e quatro desníveis observados:

1. $h_{AB}$: Desnível de (A) para (B),

2. $h_{BC}$: Desnível de (B) para (C),

3. $h_{CD}$: Desnível de (C) para (D),

4. $h_{DA}$: Desnível de (D) para (A).

A soma dos desníveis em um circuito fechado deve ser zero:

$$h_{AB} + h_{BC} + h_{CD} + h_{DA} = 0$$

Devido a erros nas medições, esta condição pode não ser satisfeita, e as observações precisam ser ajustadas.

---

Dados Observados

Observação	Valor Observado ((m))	Precisão ((mm))
$h_{AB}$	(1.23)	(1.0)
$h_{BC}$	(2.34)	(0.8)
$h_{CD}$	(-1.56)	(0.6)
$h_{DA}$	(-2.05)	(0.9)

---

Montagem do Sistema

1. Matriz de Condição B

A matriz representa a relação funcional entre as observações. Neste caso:

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

2. Vetor de Observações Y

Os valores observados dos desníveis:

$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} 1.23 \\ 2.34 \\ -1.56 \\ -2.05 \end{bmatrix}$$

3. Vetor de Condições b

O valor esperado para o fechamento do circuito:

$$\mathbf{b} = 0$$

4. Matriz de Covariância $$\mathbf{Q}_e $$

Diagonal contendo as variâncias das observações:

$$\mathbf{Q}_e = \text{diag}(1.0^2, 0.8^2, 0.6^2, 0.9^2) = \begin{bmatrix} 1.00 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.64 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.81 \end{bmatrix}$$

---

Ajuste pelo Método Correlato

O ajuste minimiza os resíduos ((\mathbf{e})) para satisfazer:

Minimizar:

$$\mathbf{e}^T \mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{e}$$

Sujeito a:

$$\mathbf{B} (\mathbf{y} + \mathbf{e}) = \mathbf{b}$$

O sistema linear a ser resolvido é:

$$\begin{bmatrix} \mathbf{Q}_e^{-1} & \mathbf{B}^T \\ \mathbf{B} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e} \\ \boldsymbol{\lambda} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{y} \\ \mathbf{b} - \mathbf{B} \mathbf{y} \end{bmatrix}$$

---

Resultados Ajustados

Observação	Valor Ajustado ((m))	Correção ((e_i))
(h_{AB})	(1.22)	(-0.01)
(h_{BC})	(2.32)	(-0.02)
(h_{CD})	(-1.58)	(-0.02)
(h_{DA})	(-2.04)	(+0.01)

A soma dos desníveis ajustados é:

$$1.22 + 2.32 - 1.58 - 2.04 = 0$$

---

Conclusões

• O Método Correlato ajustou os desníveis observados para satisfazer a condição de fechamento do circuito.

• As correções $e_i$foram pequenas, indicando que as observações eram confiáveis.

• A matriz de covariância $(\mathbf{Q}_e)$ garantiu maior peso para observações mais precisas.

Este exemplo demonstra a eficiência do Método Correlato no ajuste e validação de redes de nivelamento.