Introdução ao Método dos Mínimos Quadrados

Prof. Erison Barros

Introdução ao Método dos Mínimos Quadrados

O método dos mínimos quadrados (MMQ) é uma técnica matemática amplamente utilizada na geodésia e em diversas áreas científicas para ajustar dados observados e estimar parâmetros desconhecidos. Ele minimiza o impacto de erros de medição, proporcionando estimativas confiáveis.

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Motivação do Método dos Mínimos Quadrados

• Problema: Observações frequentemente apresentam erros e inconsistências devido à redundância ou incertezas nas medições.

• Objetivo: Determinar uma solução que minimize os efeitos desses erros, ajustando os dados observados.

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Definição Matemática

O problema pode ser representado por:

$$\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{e}$$

Onde:

• A : Matriz de design

  • Representa as relações lineares entre as observações e os parâmetros desconhecidos.

  • Suas dimensões m×nm \times nm×n indicam que há mmm observações e nnn parâmetros desconhecidos.

  • Geralmente, é composta por coeficientes que ligam cada parâmetro desconhecido a cada equação de observação.

• x : Vetor de parâmetros desconhecidos

  • Contém as variáveis que queremos determinar.

  • É um vetor coluna com nnn elementos, onde nnn é o número de parâmetros a serem estimados.

• e: Vetor de resíduos

  • Representa as discrepâncias entre os valores observados e os ajustados (modelados).

  • Suas dimensões m×1m \times 1m×1 correspondem ao número de observações.

O objetivo é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos S:

$$S = \mathbf{e}^T \mathbf{e} = (\mathbf{y} - \mathbf{A}\mathbf{x})^T (\mathbf{y} - \mathbf{A}\mathbf{x})$$

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Resolução pelo MMQ

Para minimizar (S), derivamos em relação a $(\mathbf{x})$ e igualamos a zero:

$$\frac{\partial S}{\partial \mathbf{x}} = -2\mathbf{A}^T(\mathbf{y} - \mathbf{A}\mathbf{x}) = 0$$

Isso resulta na equação normal:

$$\mathbf{A}^T\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{A}^T\mathbf{y}$$

A solução para $(\mathbf{x})$ é:

$$\mathbf{x} = (\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T\mathbf{y}$$

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Propriedades do Estimador de MMQ

1. Estimativa não tendenciosa:

   • O valor esperado de E é igual ao parâmetro real, assumindo que o modelo é correto:

     $$\mathbb{E}[\mathbf{x}] = \mathbf{x}_{\text{real}}$$
2. Variância mínima:

   • Entre os estimadores lineares não tendenciosos, o MMQ possui a menor variância.

3. Covariância do estimador:

   • A matriz de covariância do estimador é:

     $$\text{Cov}(\mathbf{x}) = (\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\sigma^2$$

     Onde $\sigma^2$ é a variância das observações.

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Aplicações Práticas

• Ajuste de redes geodésicas: Determinação de coordenadas em redes de nivelamento, triangulação e GNSS.

• Modelagem de superfícies: Ajuste de curvas e superfícies baseadas em dados observados.

• Análise de resíduos: Identificação de discrepâncias nos dados observados.

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Exemplo Simplificado

Problema: Ajustar uma linha reta (y = mx + c) a dados observados $ (x_i, y_i)$ .

Matriz de design:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & 1 \end{bmatrix}$$

Vetor de observações:

$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$$

Vetor de parâmetros:

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} m \\ c \end{bmatrix}$$

Solução:

$$\mathbf{x} = (\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T\mathbf{y}$$

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O método dos mínimos quadrados é essencial para obter soluções confiáveis em problemas com dados redundantes e medições com incertezas.