Elipse de Erros Relativas entre Pontos

Elipse de Erros Relativa entre Pontos

Considere dois pontos distintos (i) e (j) em uma rede horizontal:

• Elipse em (i) (absoluta)

• Elipse em (j) (absoluta)

• Elipse entre (i) e (j) (relativa)

Diferença de Coordenadas

$$\Delta = \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_j - x_i \\ y_j - y_i \end{bmatrix}$$

Matriz de Covariância

$$\Sigma_A = \begin{bmatrix} \sigma_{x_i}^2 & \sigma_{x_iy_i} & \sigma_{x_i x_j} & \sigma_{x_i y_j} \\ \sigma_{y_ix_i} & \sigma_{y_i}^2 & \sigma_{y_i x_j} & \sigma_{y_i y_j} \\ \sigma_{x_j x_i} & \sigma_{x_j y_i} & \sigma_{x_j}^2 & \sigma_{x_j y_j} \\ \sigma_{y_j x_i} & \sigma_{y_j y_i} & \sigma_{y_j x_j} & \sigma_{y_j}^2 \end{bmatrix}$$

Transformação da Matriz de Covariância

$$\Sigma_A = G(\Sigma_{x_iy_i}, \Sigma_{x_jy_j})G^T$$

$$G = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\Sigma_{\Delta} = \begin{bmatrix} \sigma_{\Delta x}^2 & \sigma_{\Delta x, \Delta y} \\ \sigma_{\Delta y, \Delta x} & \sigma_{\Delta y}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{x_i}^2 + \sigma_{x_j}^2 - 2\sigma_{x_i x_j} & \sigma_{x_i y_i} + \sigma_{x_j y_j} - \sigma_{x_i y_j} - \sigma_{x_j y_i} \\ \sigma_{x_i y_i} + \sigma_{x_j y_j} - \sigma_{x_i y_j} - \sigma_{x_j y_i} & \sigma_{y_i}^2 + \sigma_{y_j}^2 - 2\sigma_{y_i y_j} \end{bmatrix}$$

Cálculo de (M)

$$M = \sqrt{4\sigma_{xy}^2 + (\sigma_x^2 - \sigma_y^2)^2}$$

Semi-eixos da Elipse

$$a = \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + M)}$$

$$b = \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - M)}$$

Orientação da Elipse

$$\theta = \frac{1}{2} \arctan2\left(\frac{2\cdot\sigma_{xy}}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}\right)$$

O ângulo 2t varia de -180° a 180°.

Ajustamento em rede:

• Covariância entre i e j!