Elipsoide dos Erro

Elipsoides de Erros

Conversão dos seis elementos da matriz de covariância

Os seis elementos da matriz de covariância $(\sigma_{x}^2, \sigma_{y}^2, \sigma_{z}^2, \sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yz})$ são convertidos nos seis parâmetros do elipsoide de erros $(a, b, c, k, p, \omega)$

Solução: autovalores $\lambda$ e autovetores $A_{3x1}$ da matriz de covariância do ponto (P)

$$\Sigma_{x,y,z} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{x,y} & \sigma_{x,z} \\ \sigma_{y,x} & \sigma_y^2 & \sigma_{y,z} \\ \sigma_{z,x} & \sigma_{z,y} & \sigma_z^2 \end{bmatrix}$$

$$|\Sigma_{x,y,z} - \lambda \cdot I| = 0$$

$$\Lambda_a = \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}, \quad \Lambda_b = \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{bmatrix}, \quad \Lambda_c = \begin{bmatrix} c_x \\ c_y \\ c_z \end{bmatrix}$$

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• Equação característica:

  $$\begin{bmatrix} \sigma_{x}^2 - \lambda & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{y}^2 - \lambda & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{z}^2 - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{bmatrix} = 0$$

$$\Lambda_a^T \Lambda_b = \Lambda_a^T \Lambda_c = \Lambda_b^T \Lambda_c = 0$$

• Autovalores (\lambda):

  $\lambda = \lambda_{max}, \lambda_{med}, \lambda_{min}$

  • $a = \sqrt{\lambda_{max}}$

  • $b = \sqrt{\lambda_{med}}$

  • $c = \sqrt{\lambda_{min}}$

Visualização do Elipsoide de Erros

• A matriz de rotação (Q) e o vetor de deslocamento$\vec{\epsilon}$ definem a orientação e a posição do elipsoide em relação ao ponto (P).

Exemplo de Configuração do Elipsoide no Espaço

• O elipsoide é plotado com base nos autovetores, que definem a orientação dos eixos principais, e os autovalores determinam o comprimento dos semi-eixos.