3.3. Método das Equações de Condição ou dos Correlatos

Aula 01

Introdução

O método de ajustamento das equações de condição, também conhecido como método dos correlatos, visa ajustar observações ligadas a uma equação de condição, resultando em observações ajustadas. Esse método é aplicado quando se tem r equações de condição e n observações.

Conceitos Fundamentais

Equações de condição são relações matemáticas conhecidas que devem ser satisfeitas pelas observações, como:

• Soma dos ângulos internos de um triângulo plano = 180º

• Soma das projeções em uma poligonal fechada = 0

• Soma das diferenças de nível em um circuito de nivelamento = 0

Diferença do método paramétrico: No método das equações de condição, não há parâmetros, apenas observações diretas condicionadas a uma equação de condição.

Modelo Matemático

As observações condicionadas são modeladas pela seguinte equação:

F(La) = 0

Onde:

• La: Observações ajustadas

• F: Função que representa a equação de condição

Devido aos erros inevitáveis nas observações, as equações de condição apresentam um "erro de fechamento", W, que deve ser eliminado pelo método dos mínimos quadrados.

Para linearizar a função, utiliza-se a Série de Taylor:

F(La) = F(Lb) + V = F(Lb) + ∂F/∂Lb * (La - Lb) = 0

Onde:

• Lb: Observações originais

• V: Correções às observações originais

• ∂F/∂Lb: Matriz das derivadas parciais da função F em relação às observações originais (Matriz B)

Modelo Linearizado

F(La) = F(Lb) + V = W + B * V = 0

Onde:

• W: Vetor dos erros de fechamento (F(Lb))

• B: Matriz das derivadas parciais (∂F/∂Lb)

Exemplo: Rede de Nivelamento

Dados:

• Rede de nivelamento com 9 observações (L1 a L9)

• 4 equações de condição

• Erros de fechamento (W) calculados

Matriz B: Derivadas das equações de condição em relação às observações.

Matriz de Pesos: Inversa da variância das observações.

Passos para o Método das Equações de Condição

1. Escrever as equações de condição.

2. Calcular o vetor W (erros de fechamento).

3. Determinar a matriz B (derivadas das equações de condição).

4. Definir a matriz de pesos (inversa da variância).

5. Calcular as correções (V) e as observações ajustadas (La).

6. Conferir o vetor W com as observações ajustadas La.

7. Calcular a variância á posteriori (σ^2).

8. Calcular a matriz de variância-covariância das observações ajustadas (MVCLaC).

9. Calcular as altitudes ajustadas dos pontos.

10. Determinar a precisão das altitudes ajustadas (MVC_ALT).

Conclusões

O método das equações de condição é uma técnica poderosa para ajustar observações condicionadas por relações matemáticas conhecidas. Ele permite obter observações ajustadas e calcular a precisão dos resultados, levando em consideração os erros inevitáveis nas medições.