Equação de Condição

Equação de Condição

Introdução

As equações de condição são amplamente utilizadas na Geodésia e no Ajustamento de Observações. Elas representam vínculos matemáticos entre as observações, garantindo que certas restrições sejam respeitadas. Essas equações são fundamentais para o Método das Equações de Condição, também conhecido como Método Correlato.

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Definição Matemática

Dado um conjunto de ( m ) observações representado pelo vetor:

$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix}$$

As equações de condição impõem restrições na forma de ( p ) equações lineares independentes:

$$\mathbf{B} \mathbf{y} = \mathbf{b}$$

Onde:

• $\mathbf{B}$ é uma matriz de coeficientes das equações de condição $( p \times m )$.

• $\mathbf{y}$é o vetor das observações $( m \times 1 )$.

• $\mathbf{b}$ é o vetor das constantes $( p \times 1 )$.

Se a matriz ( \mathbf{B} ) for completa, significa que todas as condições foram corretamente especificadas.

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Aplicação Prática: Rede de Nivelamento

Um exemplo clássico do uso das equações de condição ocorre em um circuito fechado de nivelamento. Para garantir a consistência dos desníveis medidos entre pontos sucessivos, a soma dos desníveis deve ser zero:

$$h_1 + h_2 + h_3 + h_4 = 0$$

Neste caso:

• A matriz ( \mathbf{B} ) é:

  $$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
• O vetor de observações ( \mathbf{y} ) contém os desníveis medidos:

  $$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \end{bmatrix}$$
• O vetor de condição ( \mathbf{b} ) é:

  $$\mathbf{b} = 0$$

Caso a soma dos desníveis observados não seja exatamente zero devido a erros de medição, o Método Correlato é utilizado para ajustar os valores e satisfazer a equação de condição.

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Ajuste pelo Método Correlato

O ajuste das observações minimiza os resíduos ( \mathbf{e} ) sujeitos à condição:

Minimização:

$$\mathbf{e}^T \mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{e}$$

Sujeito a:

$$\mathbf{B} (\mathbf{y} + \mathbf{e}) = \mathbf{b}$$

O sistema linear resultante é:

$$\begin{bmatrix} \mathbf{Q}_e^{-1} & \mathbf{B}^T \\ \mathbf{B} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e} \\ \boldsymbol{\lambda} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\mathbf{Q}_e^{-1} \mathbf{y} \\ \mathbf{b} - \mathbf{B} \mathbf{y} \end{bmatrix}$$

A solução fornece as correções ( \mathbf{e} ) que devem ser aplicadas às observações $\mathbf{y}$ para satisfazer as equações de condição.

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Observação:

As equações de condição são essenciais para garantir a consistência e qualidade dos dados geodésicos. O Método Correlato permite ajustar observações respeitando vínculos matemáticos, reduzindo erros e assegurando resultados confiáveis.