Aula: Ajustamento com Injunções

Introdução

O ajustamento com injunções é uma técnica utilizada em geodésia e topografia para impor restrições adicionais em um sistema de observações. Essas restrições, ou injunções, são condições que os parâmetros devem satisfazer para garantir a precisão e consistência do ajustamento.

Equações de Condição e Injunções

Equações de condição são usadas para definir restrições entre observações, enquanto as injunções são restrições impostas diretamente aos parâmetros.

• Equações de injunção: ( $C \cdot X = W$ )

• Modelo matemático linearizado: $\epsilon_{C }= W'$

Ajustamento Paramétrico com Injunções

O modelo matemático para injunções ponderadas é dado por: $[ \phi(X) = \frac{1}{2} (V^T P V + (AX - L)^T Q (AX - L) + (CX - W)^T R (CX - W)) ]$

Onde:

• ( V ) é o vetor de resíduos.

• ( P ), ( Q ) e ( R ) são as matrizes de pesos.

• ( A ) é a matriz de coeficientes das observações.

• ( C ) é a matriz de coeficientes das injunções.

• ( L ) é o vetor de observações.

• ( W ) é o vetor de injunções.

Resolvendo o Ajustamento

Para resolver o ajustamento com injunções, derivamos a função objetivo e igualamos a zero:$[ \frac{\partial \phi}{\partial X} = 0 ]$

Resultando na seguinte equação matricial:$[ (A^T P A + C^T R C) X = A^T P L + C^T R W ]$

Exemplos de Injunções

Alguns tipos comuns de injunções são:

• Posição: Fixar a coordenada de um ponto.

• Distância: Restringir a distância entre dois pontos.

• Altura: Fixar a altura de um ponto.

• Direção: Fixar a direção entre dois pontos.

• Posição relativa: Fixar a posição de um ponto relativo a outro.

Exercício Prático

Exemplo de Ajustamento Paramétrico com Injunções

Dado um polígono ABCD com coordenadas conhecidas e isentas de erro no referencial $( X_1 X_2 )$, aplicou-se a transformação:$[ x_1 = a + bx - dy ] [ x_2 = c + bx + dy ]$

Após a transformação, o ponto D deve ter a coordenada fixada em (-16,00; 60,00). Os demais pontos tiveram suas coordenadas observadas conforme a tabela abaixo:

Ponto	( X_1 )	( X_2 )	( Y_1 )	( Y_2 )
A	0	0	11,30	9,30
B	10	0	34,70	84,50
C	15	3	23,00	133,60
D	5	5	-16,00	60,00

Modelo Matemático

$[\begin{cases} y_1 = a + bx - dy \ y_2 = c + bx + dy \end{cases} ]$

Passos para o Ajustamento

1. Modelo Funcional: Define as relações matemáticas entre as observações e os parâmetros.

2. Equações de Injunção: Impõem restrições adicionais aos parâmetros.

3. Matriz de Pesos: Define a precisão relativa das observações.

4. Cálculo das Matrizes:

   • ( A ): Matriz de coeficientes das observações.

   • ( C ): Matriz de coeficientes das injunções.

   • ( P ): Matriz de pesos das observações.

   • ( R ): Matriz de pesos das injunções.

5. Solução do Sistema: Resolve o sistema de equações lineares para encontrar os valores ajustados dos parâmetros.

Conclusão

O ajustamento com injunções é uma técnica poderosa para melhorar a precisão e consistência dos resultados em geodésia e topografia. Ao impor restrições adicionais, é possível obter um modelo mais robusto e confiável.

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Referências

Machado, A. M. L. (2017). Ajustamento de Observações – GA751. Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências da Terra, Departamento de Geomática.