Elipse dos Erros

Derivando em relação a ( t ), buscando máximos e mínimos, obtém-se:

$$\sigma_{x'}^2 = \frac{(\sigma_x^2 + \sigma_y^2) + \sqrt{4\sigma_{xy}^2 + (\sigma_x^2 - \sigma_y^2)^2}}{2}$$

$$\tan(2t) = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}$$

Esta expressão admite duas raízes: t e t+90°.

Fazendo-se $M^2 = 4\sigma_{xy}^2 + (\sigma_x^2 - \sigma_y^2)^2$ na primeira expressão, tem-se máximo:

$$\sigma^2 = 0.5(\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + M)$$

E mínimo:

$$\sigma^2 = 0.5(\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - M)$$